量子力學原理

量子力學主要是用來描述微觀下的行為，所描述的粒子現象無法精確地以古典力學詮釋。

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巴耳末公式

約翰·巴耳末給出了一個簡單的公式來描述氫原子的譜線，如下：

{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}{\frac  {1}{\lambda }}=R\left({\frac  {1}{2^{2}}}-{\frac  {1}{n^{2}}}\right)
{\displaystyle \lambda }\lambda 

表示波長, R是芮得柏常量，而n是大於2的整數。（此處分母2^2不可更為4）這個公式還能推廣到適用於別的一些元素的原子光譜。

普郎克黑體輻射定律

I_{\nu}(\nu,T) =\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}

其數學解釋必須用《黑體輻射是一份一份不連續的粒子》來想才符合該數學公式！

於是普朗克做了更進一步的假設：任一振子的能量「E」和它的頻率「f」成正比，而且是某種整倍數關係。如下所示：

E = n h f

在此式里，n =1, 2, 3,..。「h」由普朗克首先引入的是基本物理學常數，為了紀念他的功績，被命名為「普朗克常數」。h是一個非常小的量，大約是6.6260693×10-34焦耳·秒。

光電效應

1905年，愛因斯坦擴展了普朗克的量子假設，並用其成功的解釋了光電效應現象。[13] 波爾給出了他的原子模型，這個模型充分的吸收了普朗克的量子假設。[14]這些工作和20世紀初的其他一些工作創立了「舊量子論」

波耳原子模型

在拉賽福提出原子的行星模型之後，20 世紀初困擾物理學家們最大的問題就是：電子是如何保持穩定軌域的？

因為根據古典電動力學，電子在運動時會不斷向外輻無線電磁波，失去能量的電子最終將會墜入原子核中。

1913年，為了解決這個問題，尼爾斯·波耳假設了電子的軌域是量子化的（不連續）。這就是著名的波耳原子模型。波耳的基本假設是：電子只能占據原子核外的特定軌域這些軌域能夠在對單一元素的原子的光譜分析後得出。

波耳指出了光微粒說和光波動說都不能獨立的說明經實驗觀測到得光的特性。所有形式的電磁輻射都在一些實驗中表現出波動性，卻又在別的一些實驗中表現出粒子性。以此為根據，波耳闡明了對應原理，此原理針對一些相對應的概念，如波動性和粒子性，位置和動量等。

物質波

普朗克常數最初只是連接光的能量和頻率的比例因子。波爾在他的理論中推廣了這個概念。波爾用原子的行星模型來描述電子的運動，但起初他並不理解為何2π和普朗克常數一起出現在了他推導出的數學表述中。

1924年，德布羅意假設電子也如同光子那樣具有頻率，而其此頻率必須滿足電子在特定軌域穩定存在的駐波條件。這就是說，電子波圓周運動的軌跡必須光滑的銜接起來，波峰和波谷連續分布。中間不能有間斷，周長的每一段都是振動的一部分，而且波形不能重疊。很自然的我們可以得出軌域的周長「C」是波長「λ」的正整數倍。我們在知道軌域半徑「r」之後就能夠計算出周長，再利用周長計算出電子的波長，數學表述如下：

C=2\pi r=n\lambda

解出λ得：

\lambda =2\pi r/n

這個方程式用半徑「r」表示出了決定頻率和波長的軌域周長，就這樣，因為半徑和周長之間的固有關係，2π再一次出現在了量子力學中

德布羅意提出了物質波假設。此假設的提出成為了一個轉折點，從那以後，一個更高級且更完整的量子力學逐漸出現了。

海森堡與矩陣力學

1932年諾貝爾物理學獎獲得者，維爾納·海森堡在1925年建立起了《矩陣力學》這個完整的量子力學理論。

1. 所有的物理量，均以厄米矩陣表之。一個物理系統的哈密頓函數 H, 是廣義坐標矩陣 Q, 及其共軛動量矩陣 P 的函數。
2. 一個物理量 F, 的觀察值，是該矩陣的本徵值 $f_{{n_{1}}{n_{2}}}$ 。而能量 $E_{{n_{1}}{n_{2}}}$ 是哈密頓函數 H 的本徵值。
3. 一個物理系統的廣義坐標矩陣及其共軛動量矩陣滿足以下的對易關係，亦稱為強量子條件：
   • $\mathbf {PQ} -\mathbf {QP} ={\hbar \over i}\mathbf {I}$
   • I 為單位矩陣
4. 一個物理系統（如原子）的頻率 $\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}$，由頻率條件定之：
   • $h\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}}$

海森堡與不確定原理

海森堡在早期一個關於不確定原理的演講里這樣提到了波耳模型：

「你大可以認為，電子的軌域並不是真正的軌域。實際上，在每一時刻電子總有一個屬性是我們無法確定的，要嘛是動量，要嘛是它的位置，這是不確定關係得出的結論。只有接受了這種理念，我們才可能描述電子的軌域是什麼，而它的確是這樣的。」

儘管他所闡述的理論看上去是荒誕且強烈的違背著我們的直覺的，量子力學仍然只能從機率分布出發來計算給定軌域下電子的位置。

海森堡的矩陣力學允許電子出現在無限多的位置，這並不意味著電子可以出現在空間中的每一個地方。有一些條件限制了電子，使其必須占據某些特定的機率分布描述的位置。

薛丁格波動方程式

1925年，基於德布羅意的物質波模型，埃爾溫·薛丁格假設電子就是那樣環繞原子核的波，然後對電子的行為進行了數學分析。他並沒有把電子比作繞行星轉動的衛星，而是直接把它們看作在原子核周圍的某種波，並且指出描述各個電子的波函數都是互不相同的。而這種波函數所遵守的方程式被命名為薛丁格方程式。

含時薛丁格方程式描述物理系統隨時間演化，其最廣義形式為：[7]:143

\hat H \Psi=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi

其中， $\hat{H}$ 是表徵波函數總能量的哈密頓算符， $\Psi$ 是物理系統的波函數，i 是虛數單位，$\hbar$ 是約化普朗克常數，$\partial/\partial t$ 是對於時間 t 的偏微分。

在三維空間裏，移動於位勢 ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}$ 的單獨粒子，其含時薛丁格方程式可以更具體地表示為

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)} 

其中，m 是質量， $\Psi(\mathbf{r},t)$ 是參數為位置 r、時間 t 的波函數，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算符。

波函數塌縮

對於單個電子而言，薛丁格的波動方程式及其獨特的波函數和海森堡的量子化的點粒子的機率分布一樣在空間中散開，因為波本身就是分布很廣的擾動而不是點粒子。因此，薛丁格的波動方程式能夠得到和不確定性原理相同的結果，因為位置的不確定性在波的擾動的定義中就表現出來了。只有海森堡的矩陣力學才需要定義不確定性，因為它是從粒子的觀點出發的。薛丁格的波函數顯示電子總是處於機率雲中，在它像波一樣展開的機率分布中。

馬克斯·玻恩在1928年發現，薛丁格的波函數的平方（為了得到振幅的平方）是電子位置的機率分布。對於電子的位置可以直接測量而不會得到一個機率分布，是因為電子暫時失去了波的性質。沒有了波的性質，薛丁格的關於電子的波的特性的預言也都失效了。對粒子的位置的測量使粒子失去了波的性質，以至於薛丁格的波動方程式失效了。電子一經測量再也不能被波函數所描述，它的波長變得很短並且它與測量設備的粒子相互纏結，這種現象就是所謂的塌縮。

包立不相容原理

包立不相容原理表明了一個原子裡的每一個費米子（自旋不為整數的粒子）必然具有不相同的量子狀態。它的一個非常重要的推論就是對任何原子，兩個電子都不能具有同樣的量子態。（對於自旋為整數的玻色子，則其不服從包立不相容原理。）

沃爾夫岡·包立給出了包立不相容原理的簡單表述：

“一個原子中沒有量子數完全相同的兩個電子。”

我們已經確定電子具有四個量子數：

n：主量子數； l：角量子數； ml：磁量子數； ms：自旋量子數。

包立舉了一個例子：

「在氦原子中有兩個電子占據1 s軌域，根據不相容原理，這兩個電子必須有不同的量子數，而n, l,和ml這幾個量子數是相同的，而且他們的自旋量子數s的值都等於1/2，因此它們的ms一個是+1/2,而另一個是-1/2。」

狄拉克波動方程式

包立方程式或稱薛丁格-包立方程式，為描述帶有自旋1/2的粒子在與電磁場交互作用下的修正方程式（自旋1/2粒子例如電子）

在此之前，用以描述粒子行為的薛丁格方程式則未考慮到粒子自旋的性質。其為狄拉克方程式在非相對論極限下的特例，應用在粒子速度慢到相對論效應可以忽略的場合。

1928年，保羅·狄拉克推廣了用於描述自旋電子的包立方程式而使之與狹義相對論相容。於是這個理論便能夠處理速度接近光速的微觀粒子的運動問題，比如在軌域上運動的電子。使用最簡單的電磁交互作用理論，狄拉克算出了由電子自旋而產生的磁矩，他發現實驗觀測到的值和古典物理所想像的那種自旋所得出的值大了很多。他完全的解決了氫原子光譜的問題，並從他的理論中推導出了索末菲關於氫原子光譜精細結構的公式。

舉例而言，帶有自旋-½的自由粒子的狄拉克方程式的形式如下：

i\hbar {\frac  {\partial \psi ({\mathbf  {x}},t)}{\partial t}}=\left({\frac  {\hbar c}{i}}{\boldsymbol  {\alpha \cdot \nabla }}+\beta mc^{2}\right)\psi ({\mathbf  {x}},t)

其中 m 是自旋 -½ 粒子的質量，x 與t 分別是空間和時間的座標。

代入式子中，從而得到

狄拉克方程式（原始版本）

i\hbar {\frac  {\partial \psi ({\mathbf  {x}},t)}{\partial t}}=\left[{\frac  {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{1}{\frac  {\partial }{\partial x_{1}}}+\alpha _{2}{\frac  {\partial }{\partial x_{2}}}+\alpha _{3}{\frac  {\partial }{\partial x_{3}}}\right)+\beta mc^{2}\right]\psi ({\mathbf  {x}},t)\equiv H\psi ({\mathbf  {x}},t)

亦可以向量符號寫為：

i\hbar {\frac  {\partial \psi ({\mathbf  {x}},t)}{\partial t}}=\left({\frac  {\hbar c}{i}}{\boldsymbol  {\alpha \cdot \nabla }}+\beta mc^{2}\right)\psi ({\mathbf  {x}},t)

狄拉克方程式有時會解出電子具有負能階，於是他提出了一個新穎的假設：在動力學空間中存在著正電子。這最終導致了多粒子量子場論的誕生。

直到現在，所有的量子理論主要都是集中在對氫原子光譜的研究上。根據舊量子論，每一種元素的原子的光譜都是獨特的。由於電子和原子核不能被直接觀測到，科學家們不可能直接去研究它們的行為。即使在今天，我們使用掃描式穿隧電子顯微鏡，也只能得到模糊不清的原子圖像。迄今為止，對量子力學的實驗驗證還只是在對氦和氫原子的輻射光譜研究上，它的數學表述被用來解釋和說明輻射光譜。因此，量子力學有時也被認為是一種數理物理學。

量子纏結

包立不相容原理指出在同一系統下的兩個電子不可能處於同一狀態。大自然拋棄了這種可能性，但卻允許兩個電子可以在上面「疊」有兩種狀態。回想波函數，穿過雙狹縫並在一瞬間以疊加的其中一種狀態呈現在顯示屏幕上。沒有什麼是確定的，除非疊加的波「坍縮」，這時候就會有一個電子以符合機率的方式立即顯示在某個地方，這個機率即波形疊加後的振幅的平方。上述情況已十分抽象難解了。

關於光子的纏結，在此有一個較為具體的思考方式，有兩個光子在同一事件中疊加了兩個相對立的狀態，如下︰

可以試著在腦海中想像，把疊加的其中一個狀態標記為藍色，再把另一個狀態標記為紅色，在稍後會顯現成紫色的狀態。兩個光子是在同一個原子事件中產生出來的。這兩個光子可能是水晶吸收特定頻率的光子並發射出頻率為原始值之半的兩個光子所激發而成的。因此這兩個光子顯現出「紫色」。如果有位實驗者現在要作測定光子是紅或藍的實驗，這個實驗會把光子從原本具有「紅」、「藍」兩個狀態改變成只有其中一個狀態。這個愛因斯坦曾經如此想像過的問題是，如果其中一個光子不斷在實驗室的鏡子之間持續彈跳，而另一個光子已經移動到最近的星星的一半路程，當成對的其中一個光子顯現出自身是紅或是藍的時候，就意味著那顆遠在千里之遙的光子也必須失去「紫色」的狀態。故每當檢查光子的時候，光子就必定顯現成相對於成對光子的另一個狀態。

量子電動力學 QED

在粒子物理學中，量子電動力學（英語：Quantum Electrodynamics，簡稱QED）是電動力學的相對論性量子場論。它在本質上描述了光與物質間的交互作用，而且它還是第一套同時完全符合量子力學及狹義相對論的理論。量子電動力學在數學上描述了所有由帶電荷粒子經交換光子產生的交互作用所引起的現象，同時亦代表了古典電動力學所對應的量子理論，為物質與光的交互作用提供了完整的科學論述。

用術語來說，量子電動力學就是電磁量子真空態的微擾理論。它的其中一個創始人，理察·費曼把它譽為「物理學的瑰寶」(“the jewel of physics”)，原因是它能為相關的物理量提供極度精確的預測值，例如電子的異常磁矩及氫原子能階的蘭姆位移。

狄拉克用一整組的諧振子，加上新開發的粒子創生及消滅算符，成功地描述了電磁場的量子化。在之後的幾年，沃爾夫岡·包立、尤金·維格納、帕斯庫爾·約當、維爾納·海森堡都在這方面作出了貢獻，還有恩里科·費米更提出了一套優雅的量子電動力學表述，至此物理學家開始相信，原則上他們可以計算出所有涉及光子及帶電粒子的物理過程。然而，費利克斯·布洛赫和阿諾德·諾德西克（Arnold Nordsieck），與維克托·魏斯科普夫於1937年及1939年的後續研究發現，這樣的計算只能在一階微擾理論上獲得可靠結果，而這個問題羅伯特·奧本海默早在1930年已經指出了。在高階時，數列中出現無限，使得計算完全沒有意義，因此物理學家相當懷疑這套理論是否真的具有一致性。而當時對此並無答案，這個問題的產生，似乎是因為狹義相對論與量子理論在基礎上並不相容。

費曼除了介紹了這些作用的圖像表示之外，還為一個數量提供了另一種表示方式，這個數量叫機率幅。機率幅的平方就是機率。假設一光子由一時間空間——標記為A——移動到另一時間空間——標記為B——那麼費曼就會用$P(A\rightarrow B)$ 來表示光子機率幅。另一個相近的量，電子從C移動到D的機率幅，則會被寫成$E(C\rightarrow D)$ 。而發射或吸收光子的機率幅，費曼把它叫 j。這個量與測量出的電荷e有關，但並不一樣。

量子力學對機率的計算方式引入了一項重大的改變。機率仍然是以實數表示，如同日常生活中常用的機率，然而量子力學的機率是由機率幅計算。而機率幅是複數。

粒子物理

• 維基百科:基本粒子
• 維基百科:夸克
• 維基百科:膠子
• 維基百科:量子色動力學 QCD

【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科 與 OpenStax College 的 College Physics 一書，採用創作共用的 《姓名標示、相同方式分享》 授權】