牛頓力學

如前文所述，根據牛頓的引力公式，可以用下列公式描述一維的引力現象：

F=m a

F=m {dv \over dt}=m v'(t)

F=m {d^2x \over dt^2}=mx''(t)

三維空間的引力

三維空間中，若有一位於 P0 = (x0, y0, z0) 的質點，其質量為 m0，根據牛頓定律，對任一質量為 m 的點 P = (x,y,z) 形成的引力場大小如下：

|p| = \frac{G m_0 m}{r^2} = \frac{c}{r^2} 

其中常數 $c = G m_0 m$, 半徑 $r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$

由於重力場的方向指向 P0，反過來的逆重力場的方向為：

v_r = [x-x_0, y-y_0, z-z_0]

朝向重力場方向的單位引力可以表示為

\frac{-1}{r} v_r 

該質點所形成的《引力場》為

p = |p| (- \frac{1}{r} v_r) = - \frac{c}{r^3} v_r = -c [\frac{x-x_0}{r^3}, \frac{y-y_0}{r^3}, \frac{z-z_0}{r^3}]

拉普拉斯方程式

讓我們計算上述重力場當中，算式 $\frac{1}{r}$ 的梯度如下：

\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} = \frac{-2(x-x_0)}{2[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2]^{3/2}} = - \frac{x-x_0}{r^3}

同理可得：

\frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{r} = - \frac{y-y_0}{r^3}  \\ \\
\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{r} = - \frac{z-z_0}{r^3}

根據上述算式與前一段的重力場 p ，我們可以看出如下結果

p = c [\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} , \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{r}, \frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{r}] = \nabla \frac{c}{r}

這個結果表示 p 為純量函數 $f(x,y,z)=\frac{c}{r}$ 之梯度，其中的 f 代表引力場的位能函數。

如果我們繼續對上述的 p 進行微分，那麼就可得到物理上極其重要的《拉普拉斯方程式》(Laplace Equation)如下：

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0

這是因為繼續微分 p 之後會得到

\frac{\partial^2}{\partial x^2} \frac{1}{r} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3(x-x_0)^2}{r_5} \\ \\
\frac{\partial^2}{\partial y^2} \frac{1}{r} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3(y-y_0)^2}{r_5} \\ \\
\frac{\partial^2}{\partial z^2} \frac{1}{r} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3(z-z_0)^2}{r_5} \\ \\

上述三式相加之後，得到

-\frac{1}{r^3} * 3 + \frac{3(x-x_0)^2}{r^5} + \frac{3(y-y_0)^2}{r^5} + \frac{3(z-z_0)^2}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3r^2}{r^5} = 0

由於拉普拉斯方程式的這種二次微分加總函數在物理學上非常重要，因此數學家們定義了一個《拉普拉斯算子》(Laplace Operator) 如下：

\nabla^2 = \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}

於是上述的《拉普拉斯方程式》就可以寫成

\nabla^2 f = 0

上述為單一質點產生的《引力場》，但是如果擴充到《多質點》產生的引力場，拉普拉斯方程式一樣會成立。甚至對於《靜電的庫倫力》所產生的電力場，也一樣滿足《拉普拉斯方程式》。

這就是《拉普拉斯方程式》在物理上極其重要的原因了！