泰勒展開式與函數逼近論
簡介
微積分概念中的微分，具有許多神奇的應用，其中基於多項式不斷微分概念的泰勒級數，更成為函數逼近論的基礎，函數逼近方法中最重要的傅立葉轉換，更成為影像處理的神奇工具，本文將說明微積分、泰勒級數、函數逼近、傅立葉轉換在影像處理中的地位與用途。
微分與泰勒級數
一般的連續函數通常可以不斷的進行微分，因此、就可以用多項式來逼近該函數，其背後的想法是：
『如果我想用一個多項式來逼近函數，應該如何做呢？』
關於這個問題、如果我們直接將函數表示成多項式，可改寫如下：
f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ...+ c_k x^k+...=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k
然而、這些 c0, c1, … 等係數，到底應該是多少呢？關於這個問題，必需使用函數逼近法，所謂的函數逼近法，就是利用微分的概念，對於一個指定函數 f(x)，在某特定點附近不斷取微分的方法。
根據上述算式不斷進行微分，可以導出下列算式：
\begin{eqnarray}
f'(x) & = & \frac{d f(x)}{dx} &=& c_1+c_2*2*x+c_3*3*x^2+c_4*4*x^3+... \\
f''(x) & = & \frac{d f'(x)}{dx} &=& c_2*2*1+c_3*3*2*x+c_4*4*3*x^2+... \\
f'''(x) & = & \frac{d f''(x)}{dx} &=& c_3*3*2*1+c_4*4*3*2*x+... \\
... \\
f^k(x) & = & \frac{d f^{k-1}(x)}{dx} \;\;\; &=& c_k k!+c_{k+1} (k+1)! x+...
\end{eqnarray}
於是、根據上述最後一個通用算式，若在 x 趨近於 0 時，可捨棄具有 x 的項目(因為 x 非常接近 $0，x, x^2 $ … 都很小、捨棄一點點無所謂啦)，於是我們就發現下列關係：
c_k = \frac{f^k(0)}{k!}
於是、我們就可以將這些係數 ck 套回算式 ([1])，而得到下列算式 ([7])：
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x +...+ \frac{f^k (0)}{k!} x^k+...=\sum^{\infty}_{k=0} \frac{f^k(0)}{k!} x^k
這就是所謂的泰勒級數，又稱泰勒展開式 (請注意，通常我們稱泰勒展開式是在 x=c 點的微分式，上述公式乃是取 x=0 附近的微分式，這種在零點的泰勒展開式又稱為麥克羅林級數 Maclaurin Seires)。
上述的論述是針對函數 f(x) 在接近 0 的地方進行逼近的結果，對於在接近 a 的地方，泰勒級數將修改如下：
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) +...+ \frac{f^{k(a)}}{k!} (x-a)^k+...= \sum^\infty_{k=0} \frac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k
注意
泰勒展開式要能夠逼近函數 f(x)，則 f(x) 必須滿足兩個條件，這兩個條件是 f(x) 必須是連續函數，而且 f(x) 可以微分 (在任何一點上)，也就是 f(x) 必須是連續且可微分的函數。