廣義相對論
愛因斯坦重力場方程式
G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }
其中
$
G_{{\mu \nu }}$ 稱為愛因斯坦張量， $R_{{\mu \nu }}$ 是從黎曼張量縮併而成的里奇張量，代表曲率項； $R$ 是從里奇張量縮併而成的純量曲率(或里奇數量)； $g_{{\mu \nu }}$ 是從(3+1)維時空的度量張量； $T_{{\mu \nu }}$ 是能量-動量-應力張量， $G$ 是重力常數， $c$ 是真空中光速。
時空度規
若把時空座標寫成 $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)$ ，那麼會有下列方程式：
ds^2 = \sum_{\mu \nu=0}^3 g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}
系數 $g_{\mu \nu}$ 稱為《時空度規》。
相對論中《時空度規》是對稱的，也就是 $g_{\mu \nu}=g_{\nu \mu}$ 。
平直座標的時空度規
在沒有引力場的平直時空，其《時空度規》$(g_{\mu \nu})_{直}$ 如下：
(g_{\mu \nu})_{直} =
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
柱狀座標的時空度規
愛因斯坦轉盤 是一個轉動的圓盤坐標系，轉動時邊緣由於《尺縮》的效應，圓盤的周長反而會《變大》，也就是圓周率會變大。
若選擇以 z 軸為轉軸的柱狀坐標系，當轉盤靜止時，那麼就會有下列度規式：
ds^2 = c^2 dt^2 - d\rho^2-\rho^2 d\phi^2-dz^2
其《時空度規》$(g_{\mu \nu})_{柱}$ 如下：
(g_{\mu \nu})_{柱} =
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\rho^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
$(g_{\mu \nu})_{柱}$ 和 $(g_{\mu \nu})_{直}$ 都是線性均勻的，屬於歐氏幾何。
轉動坐標系的時空度規
在轉動的座標系統中，其《時空度規》$(g_{\mu \nu})_{轉}$ 為：
ds^2 = (1-\rho^2\omega^2/c^2) c^2 dt^2 - 2 \rho^2\omega/c d\phi dt - d\rho^2 - \rho^2 d\phi^2 - dz^2
寫成矩陣就變成
(g_{\mu \nu})_{轉} =
\left[
\begin{array}{cccc}
1-\rho^2\omega^2/c^2 & 0 & -\rho^2\omega/c & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-\rho^2\omega/c & 0 & -\rho^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
史瓦西度規
史瓦西度規是一種考慮均勻質量的球體之度規，在沒有引力場時，其球座標線元 ds 與時空度規 $(g_{\mu \nu})_{球}$ 分別如下：
ds^2 = c^2 dt^2 -dr^2 - r^2(d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2)
寫成矩陣就變成
(g_{\mu \nu})_{球} =
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^2 sin^2\theta \\
\end{array}
\right]
當有引力場時，其中的時鐘會變慢，徑向尺會變短，其時空調整如下：
dt \mapsto \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt, dr \mapsto \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
且
v^2 = \frac{2GM}{r}
於是其時空度規則變成：
ds^2 = c^2(1-\frac{2GM}{c^2r}) dt^2-\frac{dr^2}{1-2GM/c^2r} - r^2 (d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2)
寫成矩陣就變成了
(g_{\mu \nu})_{M} =
\left[
\begin{array}{cccc}
1-\frac{2GM}{c^2r} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{1-2GM/c^r} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^2 sin^2\theta \\
\end{array}
\right]
這個時空度規稱為《史瓦西度規》。
史瓦西半徑
根據上述《史瓦西度規》中的調整式：
v^2 = \frac{2GM}{r}
假如當 v=c 時，那就可以得到
Rs = r = \frac{2GM}{c^2}
這個 Rs 半徑稱為《史瓦西半徑》。
當一個星球崩塌到比史瓦西半徑還要小時，就會形成黑洞！
1915年12月，在愛因斯坦發表廣義相對論1個月後，德國天文學家卡爾·史瓦西即得到愛因斯坦場方程式的精確解，能夠對於點質量與球形質量所產生的重力場給出描述，這包括史瓦西度規和史瓦西半徑等等概念，該精確解算出，如果某天體全部質量都壓縮到很小的「重力半徑」範圍之內，所有物質、能量（包括光線）都被重力囚禁在內，從外界看，這天體就是絕對黑暗的存在，也就是黑洞。
1934年，德國天文學家沃爾特·巴德和瑞士天文學家弗里茨·茲威基指出，當一個衰老的大質量恆星核無法再通過熱核反應產生能量時，它有可能會通過重力塌縮的過程塌縮為一個中子星或黑洞。1939年，美國物理學者歐本海默計算出，一顆質量超過太陽質量3倍（歐本海默極限）而又沒有任何熱核反應的「冷恆星」，一定會在自身重力的作用下坍縮成為黑洞，也就是說該恆星已經成為死亡遺骸。
2015年9月14日，LIGO重力波天文台首次成功直接觀測了重力波。該訊號與兩個黑洞合併產生重力波的理論預測相符，其中一個黑洞約36個太陽質量，另一個黑洞則約有29個太陽質量。觀測結果為黑洞的存在提供了迄今為止最具體的證據。
2019年4月10日，事件視界望遠鏡專案的科學家發表了對M87星系中心黑洞進行觀測得到的影像，這是人類首次對黑洞進行直接觀測。
水星近日點的進動現象
想瞭解《水星近日點的進動現象》之計算請參考下列文章
19世紀中葉，勒維耶發現了水星的進動現象，後來根據廣義相對論，愛因斯坦證明了對於一個行星，其軌道的主半軸為 a，軌道 e 的偏心率和公轉周期為 T，那麼在一個以弧度為單位的公轉周期內，由相對論效應引起的進動歲差為：
{\displaystyle \varepsilon =24\pi ^{3}{\frac {a^{2}}{T^{2}c^{2}\left(1-e^{2}\right)}}}
其中 c 是光速。以水星為例，其大軸的一半約為 $5.79×10^{10} m$ ，其軌道偏心率為 0.206，公轉周期為87.97天，即$7.6×10^6 s$ 。從這些和光速,它可以計算出拱點的旋進一個時期的革命是 $\varepsilon = 5.028×10^{−7}$ 弧度( $2.88×10^{−5}$ 度或 0.104”)。在100年裡，水星大約繞太陽公轉 415 圈，因此在這段時間裡，由於相對論效應而產生的近日點進動大約是43”，這幾乎與之前無法解釋的測量值部分完全一致。
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