狹義相對論的幾何學
勞侖茲變換
勞侖茲提出勞侖茲變換是基於以太存在的前提的，然而以太被證實是不存在的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參照系，光速都具有相同的數值。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參照系之間的變換關係式與勞侖茲變換在數學表達式上是一致的，即：
{\begin{cases}x'={\frac {x-vt}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\y'=y\\z'=z\\t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{cases}}
其中x、y、z、t分別是慣性坐標系Σ下的坐標和時間，x’、y’、z’、t’分別是慣性坐標系Σ’下的坐標和時間。v是Σ’坐標系相對於Σ坐標系的運動速度，方向沿x軸。
如果將x、y、z記成x1、x2、x3，並且令：
{\begin{cases}x^{{0}}=ct\\x^{{\prime }}{}^{{0}}=ct^{{\prime }}\end{cases}}
那麼勞侖茲變換可以寫成如下的矩陣形式：
{\begin{bmatrix}x^{{\prime }}{}^{{0}}\\x^{{\prime }}{}^{{1}}\\x^{{\prime }}{}^{{2}}\\x^{{\prime }}{}^{{3}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{{0}}\\x^{{1}}\\x^{{2}}\\x^{{3}}\end{bmatrix}}
其中 $\beta ={\frac {v}{c}},\quad \gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ ，稱為勞侖茲因子。
閔考斯基時空
亨利·龐加萊在1905年至1906年間發現當將時間作為一個虛坐標ict（其中c為光速，i是虛數單位）並與三個表示時空的實坐標共同組成四維時空時，勞侖茲變換就可以看作是這一時空中的坐標旋轉。狹義相對論可以保證下列這個量不變。
(it)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}
其中的 i 是虛數，也就是 $\sqrt{-1}$ 。
