幾何學
凡是關於空間概念與操作運算的學問，包含《幾何繪圖與變換之數學》，均稱為幾何學，請進一步參考：
幾何學的分類
兩千多年前《歐幾里得》在《幾何原本》中所歸納集大成的幾何學，稱為歐氏幾何。
歐氏幾何是從埃及傳到希臘的，埃及人由於尼羅河每年氾濫，所以需要每年重新丈量找回土地界線，因此發展出了一種只依靠《繩子+固定繩頭》的幾何學，在紙筆時代改用《原規+直尺》替代上述工具，這種由《直線+圓形》所建構出來的幾何學，就稱為《歐氏幾何》。
歐氏幾何依靠五條公理與五條公設建構出來，但最後一條《平行公設》看來有點多餘，不過兩千年來始終沒人能從前面的公理在不加入其他公理的狀況下導出《平行公理》，因此平行公理始終無法去除。
後來羅巴契夫斯基把平行公理反過來，假設通過直線外一點可以做很多條《平行線》延長後都不會和該直線相交，結果竟然導出了一整個毫無矛盾的幾何體系，於是發展出了非歐幾何學中的《雙曲幾何學》。
高斯的學生《黎曼》在1854年成為格丁根大學的講師，發表了一篇名為《關於幾何基礎的假設》的論文，定義幾何學為《關於流形》的研究。
《流形》是帶有坐標系以及兩點間最短距離度量公式的任意維空間。
歐氏幾何的度量公式為 $$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 $$ ，是曲率為零的幾何學。
羅巴契夫斯基的《雙曲幾何學》，是曲率為 -1 的幾何學。而球面幾何則是曲率為 1 的幾何學。
一般可以把幾何形體的拓撲結構看作是完全「柔軟」的，因為所有變形（同胚）會保持拓撲結構不變；而把解析幾何結構看作是「硬」的，因為整體的結構都是固定的。
幾何學在電腦裡的用途
幾何圖形的用途 ，從《計算機圖學》到《人工智慧》領域無所不在
舉例而言 ，人工智慧裡的 爬山演算法 ，主要是在尋找《函數最高點》 。
其方法非常簡單，就是看看鄰居高度，然後一直往更高的方向爬。
而神經網路裡的梯度下降法 ，和爬山演算法做的 事情幾乎一樣 ，只是方向永遠是 梯度方向而已
這些方法 ，不管是在 1 維、 2 維、 3 維、 4 維 還是更高維空間，都是管用的
但是 ，通常只能找到《區域最高點或最 低點》，無法保證找到全域最高 點或最低點。
在上面的例子中 ，圖形最後都對應到了《函數》 ，而函數畫出來的圖形，讓我們對 結果有了視覺化的感受 …
而且不只如此 ，函數還可以用來轉換圖形
像是計算機圖學裏的 ，《縮放、旋轉》等變換都可以用矩陣函數表示
如果把矩陣加大一維 ，那麼就可以納入《平移》變換
平移、縮放、旋轉三種運算 ，形成的變換屬於仿射變換 (affine transformation) ，因此是仿射幾何學的特例 …
仿射變換 ，是碎形幾何的基礎
如果把旋轉運算放到三維空間 ，就可以得到針對不同軸心的三種旋轉運算 對 x 軸旋轉 對 y 軸旋轉 對 z 軸旋轉
於是圖形的呈現問題 ，就成了《矩陣運算》的問題
但是 ，由於我們的顯示器通常是二維的 ，要把三維物體顯示在二維平面中 那該怎麼辦呢？
透視投影可以解決這個問題
西洋文藝復興時期 單點透視法也成了繪畫的一大特色 中國的繪畫就沒有經過這樣的時期 ( 水墨畫完全不管比例問題 )
所以 ，笛卡兒的《解析幾何》對程式人 而言，可以說是一種《常識》
因為寫程式常常用到 ，但程式人卻不太知道自己正在 使用《幾何學知識》 …
以座標代表《點》 ，然後以《函數或方程式》代表《線》的 方式，早已深深地烙印在程式人的腦海 裡，不需要特別強調背後的數學了 …
空間
在數學上、所謂的空間，是一個加上了某些《數學結構》的集合。
正定 (Positive Definite)
正定函數
正定函數的定義如下：
- d(x, y) ≥ 0 (非負性，或稱分離公理)
- d(x, y) = 0 若且唯若 x = y (同時公理)
正定矩陣
一個 n×n 的實對稱矩陣 M是正定的，若且唯若對於所有的非零實係數向量 z，都有 $z^T M z>0$ 。
範數
向量空間中的《範數》(Norm)，是一個具有下列特性的函數。
- $
p(v) \ge 0$（半正定性） - $
p(a v) = |a| p(v)$（絶對一次齊次性） - $
p(u + v) \le p(u) + p(v)$ （[三角不等式]） - $
p(v)=0$ ,若且唯若 v 是《零向量》（[正定性]）
假如拿掉第 4 條，那麼該範數稱為《半範數》(Seminorm)。
度量空間
最常見的一種空間是《度量空間》 (Metric Space) ，《度量空間》是《集合》加上了《距離函數》的結果。
集合 X 上的度量 (Metric) 為一函數 (稱之為「距離函數」或簡稱為「距離」)
d : X × X → R
這裡的 R 是實數的集合，且對於所有 X 內的 x、y、z，均滿足如下條件:
- d(x,y) 為正定函數。
- d(x, y) = d(y, x) (對稱性)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (次加性 / 三角不等式)。
條件 1 與條件 2 為《正定函數》的定義。
最常見的度量空間是《歐氏空間》，其《距離度量》如下：
$d(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2 +(x_2-y_2)^2 + \cdots +(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$
在《向量空間》中，上述的《歐幾里得距離度量》，稱為《歐幾里得範數》。
流形
例如一個多項式，如果你知道 (0,1) 區間的取值，則整個實數範圍的值都是固定的，所以局部的變動會導致全局的變化。
光滑流形可以看作是介於兩者之間的模型：其無窮小的結構是「硬」的，而整體結構則是「柔軟」的。這也許是中文譯名「流形」的原因（整體的形態可以流動）。
流形要求局部「看起來像」簡單的空間，這不是一個簡單的要求。例如，在球上吊一根線，這個整體就不是一個流形。包含了線和球連接的那一點的附近區域一定不是簡單的：既不是線也不是面，無論這個區域有多小。
流形有很多種。最簡單的是拓撲流形，它們局部看來像歐幾里得空間。其他的種類包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支持拓撲，而且要支持微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。
拓撲流形
拓撲流形的定義為：拓撲空間 M 在滿足以下條件時，稱 M 為 m維流形：
就稱M是一個 m 維流形或 m 維拓撲流形。
假設X是拓樸空間。設x和y是X中的點。我們稱x和y可以「由鄰域分離」，如果存在x的鄰域U和y的鄰域V使得U和V是不相交的（U ∩ V = ∅），且X中的任意兩個不同的點都可以由這樣的鄰域分離，那麼稱X是郝斯多夫空間。這也是郝斯多夫空間叫做T2空間或分離空間的原因。
在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是郝斯多夫空間；最重要的實數是郝斯多夫空間。更一般的說，所有度量空間都是郝斯多夫空間。事實上，在分析中用到的很多空間，比如拓樸群和拓樸流形在其定義中明確的聲明了郝斯多夫條件。
微分流形
光滑流形（英語：smooth manifold），或稱 $$C_{\infty}$$ 微分流形（differential manifold）
(筆者猜想：$$C_{\infty}$$ 應該是每個點都可無限次微分的流形)
當座標變換不是可微映射，僅是連續映射時，滿足這三條件的稱為拓撲流形，寫作 $$C_0$$ 流形。
黎曼流形
黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。
在黎曼幾何裡面，度量張量又叫黎曼度量，物理學譯為度規張量，是指一用來衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。
當選定一個局部坐標系統 $$x^i$$，度量張量為二階張量可表示為
$$ds^2=\sum_{ij}g_{ij}dx^i dx^j$$
從 a 到 b 弧線長度定义如下:
$$L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{ij}g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt$$
兩個切向量的夾角 $$\theta$$ 定義為：
$$ \cos \theta =\frac{\langle u, v\rangle}{|u||v|}= \frac{\sum_{ij}g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| \sum_{ij}g_{ij}u^iu^j \right| \left| \sum_{ij}g_{ij}v^iv^j \right|}} $$ 若 f 為 $$R$$ 到 $$R^n$$ 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 G，由以下方程式計算得出：
$$G = J^T J$$
J 表示 f 的 雅可比矩阵。
著名例子有 $$R^2$$ 之間從極座標 $$(r,\theta)$$ 到直角座標 $$(x,y)$$ 的座標變換，在這例子裡有：
$$x = r \cos\theta$$ $$y = r \sin\theta$$
這映射的雅可比矩陣為
$$J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}$$
所以
$$G=(g_{ij}) = J^\mathrm{T}J$$ $$= \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & r^2\end{bmatrix} \ $$
這跟微積分裡極座標的黎曼度量 $$ds^2=dr^2+r^2 d\theta^2$$ 一致。