張量代數

張量與相對論

光速恆定：在所有慣性坐標系中，光速都是 C，即使從一座標系看另一座標系時亦同。

相對性原理：物理定律在所有慣性坐標系中，保持一定的形式，不因坐標系選取不同而有不同的物理定律。

等效原理：坐標系中的人無法區分加速度和重力，兩者視為等效。

愛因斯坦的《相對論》可以用《張量》的形式描述。

用張量描述的物理定律，在各種座標系下具有不變的形式，也就是這些法則與座標系的選擇無關。

使用張量描述可以消除座標系選擇所帶來的影響！

要理解張量，必須先具備《向量與線性代數》的基礎，對於《矩陣和向量空間》之間的關係必須有清楚的概念，以便理解《座標系選擇》與《向量表示法》之間的關係，接著想清楚《座標變換如何用矩陣進行表達與運算》，接著才能開始理解《張量的世界》。

為了快速導引大家進入張量，讓我們回顧一下《座標系變換的影響》。

座標系變換

在線性代數中，我們知道《一組獨立的基底向量》可以用來《張成向量空間》。舉例而言，e1=[1,0], e2=[0,1] 就可以用來張成二維的平面空間。而 e1=[1,0,0], e2=[0,1,0], e3=[0,0,1] 可以用來張成三維的立體空間。

但是、並非只有上述那種《標準座標系》才能張成空間，例如 e1’ = [1,1] e2’=[1,2] 也可以《張成完整的二維向量空間》，因為 e1’, e2’ 兩者是獨立的。

當我們要將某項量 x 用兩個座標系 e, e’ 分別表達時，會發現可以用矩陣進行兩者的座標轉換，其形式如下：

舊標架 e： $$x = x^i e_i$$

新標架 e’： $$x = x^{i’} e_{i’}$$

用舊標架表達新標架： $$e_{i’} = A_{i’}^{i} e_i$$

用新標架表達舊標架： $$e_{i} = A_{i}^{i’} e_{i’}$$

註：以上的 A 都會是非奇異矩陣，也就是 $$det(A) \ne 0$$

兩種表達法會互為反矩陣，也就是 $$A_{i’}^{i} A_{i}^{i’} = I$$

對於某向量 $$x = x^i e_i$$ ，若表達成新標架 $$x = x^{i’} e_{i’}$$ 時，會發現可以用下列方式進行座標轉換。

$$x^{i’}=A_{i}^{i’} = e_{i’}$$

反過來轉換就會變成下式。

$$x^{i}=A_{i’}^{i} = e_{i}$$

假如標架原點可移動的話，那麼變換公式還得加上一個位移。

$$x^{i’} = A_{i}^{i’} + A^{i’}$$

其中 $$A^{i’}$$ 為標架 (座標系) 移動的方向。

協變與逆變

在上述的座標系轉換過程當中，一個向量函數 f(x) 可以表示為

$$f(x) = a_1 x^1 +… + a_n x^n + a$$

在座標系轉換的過程中，係數向量 $$(a_1,…a_n)$$ 與變數向量 $$(x_1,…x_n)$$ 兩者的變換具互為逆變換的對偶關係。

換言之、如果係數向量的變換服從下列規律 (這種張量稱為《協變張量》，索引為下標)：

$$a_{i’}=A_{i’}^{i} a_i$$

那麼變數向量 x 在座標變換時會有相反的規律 (這種張量稱為《逆變張量》，索引為上標)：

$$a^{i’}=A^{i’}_{i} a^i$$

當《協變張量》與《逆變張量》一同出現時，上標和下標可以抵消後不用寫出，此時預設都會用《愛因斯坦求和約定》的方式計算之，其求和方式如下：

$$f_{ikl}^{ik} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} f_{ikl}^{ik}$$

這種《混合協變與逆變的張量》，稱為《混合張量》。

當上下標相同時可以縮並：

$$a_{p’q’}^{i’p’k’}=A_{i}^{i’}A_{j}^{p’}A_{k}^{k’}A_{p’}^{p}A_{q’}^{q} a_{pq}^{ijk} = $$

當用 $$\sigma_j^p$$ 進行張量縮並時，代表《愛因斯坦求和》時用 j 替代 p 。

$$I_j^p a_{pq}^{ijk} = a_{jq}^{ijk} = a_{q}^{ik}$$

當縮並到變成零階張量時，就會得到常數(不變量)的結果。