陳鍾誠

Version 1.0

泛函分析

  1. 函數的函數 – 把函數當成一種變數。
  2. 源自變分法，代表作用於函數的函數。(一個函數的參數是函數)
  3. 泛函分析所研究的大部分空間都是無窮維的
  4. 並把幾乎處處相等的函數看成是同一個函數

若泛函具有線性特性，則稱為線性泛函。

線性泛函 (Linear Functional)

向量空間 V 與純量 K 所成的函數滿足下列條件時，稱為《線性泛函》

  1. f(x+y) = f(x)+f(y)
  2. f(ax) = a f(x)

距離空間 (Metric_space, 度量空間)

設 X是非空集合，對於X中的任意兩元素 x 與y，按某一法則都對應唯一的實數 ρ(x,y)，並滿足以下三條公理（距離公理）：

  1. 非負性： ρ(x,y)≥0， ρ(x,y)=0當且僅當x=y；
  2. 對稱性： ρ(x,y)=ρ(y,x)；
  3. 三角不等式；對任意的 x,y,z ρ(x,y)≤ρ(x,z) +ρ(z,y)

則稱 ρ(x, y) 為 x 與 y 間的距離（或度量），並稱X是以ρ為距離的距離空間（或度量空間），記成(X,ρ)，或簡記為X；X中的元素稱為X中的點

範例: Rn 是個距離空間。

距離空間 (Metric Space, 度量空間) 和測度空間 (Measure space) 是完全不同的概念，請勿搞混！

測度空間 Measure Space

一個測度空間包含三部分資訊 X, A, $\mu$，且滿足下列條件：

  1. X 為非空集合
  2. A 為 X 上的一個 σ-代數 ，也就是滿足某些條件的 X 中的一些子集構成的集合。
  3. $\mu$ 為 (X,A) 上的測度，換句話講，是一個定義在 A 上的有特別性質的(非負)函數。

距離空間未必是賦範空間 (請勿誤會)！

不動點定理

不動點定理： 完備距離空間 X 上的壓縮映射 A ，必存唯一的不動點 $x*$ 使得 $A x*=x*$ 。

尋找不動點的方法：

  1. 任意取一個 $x \in X$
  2. 計算 $x_2 = A(x_1), x_3 = A(x_2), ......, x_n = A(x_{n-1}) , ....$ 直到收斂為止。

其收斂點就是不動點 $x*$ 。

範例：一張地圖與其縮小版疊在一起，那麼至少有一點重合 (兩個相同座標疊在一起)。

應用：微分方程，代數方程，積分方程解的唯一存在性

完備性

一個度量空間或一致空間被稱為「 完備的 」，如果其中的任何 柯西列 都收斂。

數學上完備性 (Complete) 有很多意義，請參考 完備性

賦範向量空間

  1. 零向量的長度是零，並且任意向量的長度是非負實數。
  2. 一個向量 v 乘以一個純量 a 時，長度應變為原向量 v 的 |a|（ a 的絕對值）倍。
  3. 三角不等式成立。也就是說，對於兩個向量 v 和 u ，它們的長度和（「三角形」的兩邊）大於 v+u （第三邊）的長度。

巴拿赫 (Banach) 空間 (完備賦範向量空間)

如果賦範向量空間 (X, ||.||)是完備的，則稱(X, ||.||) 是 Banach 空間。

賦範線性空間的幾個重要定理

  1. 非零有界線性泛函存在定理
  2. 逆算子定理: 類似於反函數定理：單調函數必存在反函數有界線性算子 T將Banach空間 X 一一的映照到Banach空間 Y ，則 T 的逆算子線性有界

特例： Fourier 變換，Laplace 變換。

內積空間 Inner product space (准希爾伯特空間, pre-Hilbert space）

賦範向量空間引入內積的概念 (幾何化：正交投影概念) 後，成為內積空間。

定義：設 X 是定義在實（或覆）數域 K 上的線性空間，若對於X 任意一對有序元素x,y, 恒對應數域K的值(x, y)，且滿足

  1. (ax, y) = a(x, y)；
  2. (x+y, z) = (x, z) + (x, z)
  3. (x, x) ≥0，且(x, x)=0的充要條件是x=0

則稱X為內積空間，(x, y) 稱為 x, y 的內積。

An inner product naturally induces an associated norm, thus an inner product space is also a normed vector space. A complete space with an inner product is called a Hilbert space. An (incomplete) space with an inner product is called a pre-Hilbert space, since its completion with respect to the norm induced by the inner product is a Hilbert space. Inner product spaces over the field of complex numbers are sometimes referred to as unitary spaces.

翻譯

《內積空間》通常會伴隨 norm ，因此內積空間也是個《賦範向量空間》，具有完備性的內積空間稱為希爾伯特空間。不具完備性的內積空間稱為《準希爾伯特空間》。複數上的內積空間稱為《酉空間》(unitary space)。

廣義歐幾里得空間 (Generalized Euclidean Space, GE)

若《內積空間》具有《完備性》時，稱為《廣義歐幾里得空間》 GE， GE 是一種巴拿赫空間。

希爾伯特 (Hilbert) 空間

內積空間 U 按範數 norm $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ 成為巴拿赫空間，就稱為希爾伯特空間。

  1. 可由內積導出範數。
  2. 完備的內積空間稱為希爾伯特(Hilbert)空間
    • Hilbert 空間必為Banach空間

希爾伯特空間的另一種定義 (由 Von Neumann 定義) :

無限次元的 GE 空間，稱為 Hilbert 空間。

酉空間 (unitary space)

複數上的內積空間稱為《酉空間》(unitary space)

以上的幾何空間關係彙整如下圖所示：

函數形成的空間

$L_{[a,b]}^p$ 空間： 代表 [a,b] 上 p 冪的 Lebesque 可積函數全體，其中幾乎處處相等的函數被視為同一函數，這些函數形成一個《巴拿赫空間》。

其中的範數 norm 定義為 $||x|| = (\int_a^b |x(t)|^p dt)^{1/p}$ , $p \leq 1$ 。

由該範數導出的距離定義為 $\rho(x,y) = (\int_a^b |x(t)-y(t)|^p dt)^{1/p}$

不同範數的等價性

定義： (等價性)

設 n1(X) 與 n2(X) 是同一空間 X 中的兩種不同範數。

若由 n1(x)→0 可推出 n2(x)→0 ，則稱 n1 比 n2 更強。

反之若由 n2(x)→0 可推出 n1(x)→0 ，則稱 n2 比 n1 更強。

若 n1 比 n2 更強且 n2 比 n1 更強，則稱兩者等價。

定理 1 : 歐氏空間 Rn 中不同座標系統所表達的範數之間，是互相等價的。

定理 2 : 設 X 是有限維線性空間，則 X 上定義的所有範數都是互相等價的。

算子、函數、泛函、抽象函數

  • 函數 (function) : f(數)=>數
  • 算子 (operator) : f(向量)=>向量
  • 泛函 (functional) : f(向量)=>數
  • 抽象函數: f(數)=>向量

抽象函數的另一種意思: 不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。

T 滿足 T* T=T T* =I

在泛函分析中，么正算符（英語：unitary operator，或稱酉算符）是定義在希爾伯特空間上的有界線性算符 T : H → H，滿足規律 T* T=T T* =I

在泛函分析中，「線性算子」一般被當做「線性映射」的同義詞

其他空間的概念

既然有距離空間，那也必然有《沒定義距離的空間》，例如《拓譜空間》(Topological Space) 就是沒有定義距離的空間 (但是有鄰域的概念)。

《流形》 (Manifold) 則是《拓譜空間》(Topological Space) 加上可微分的概念 (區域近似平面)。

《流形》的概念比較偏向是《幾何學》上的，特別是《微分幾何》與《拓樸學》中就會討論到《流形與郝斯多夫空間》。

機率空間則是在集合上的操作概念，類似測度空間的東西。

應用

正交轉換被應用在下列領域：

  1. 影像壓縮 – 傅立葉轉換， cos 轉換
  2. 無線 CDMA 通訊技術 – Walsh Transform

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