數值表示法

整數

電腦裡的數值，通常只支援整數和浮點數，目前通常是採用 32 或 64 位元的表示法。

有號整數 (可以表示負數) 通常採用 2 補數表示法，n 位元有號整數的表示範圍是 $-2^{n-1}$ ~ $(2^{n-1}-1)$

所以 32 位元有號整數表示範圍為 $-2^{31}$ ~ $(2^{31}-1)$ , 64 位元有號整數表示範圍則是 $-2^{63}$ ~ $(2^{63}-1)$

浮點數

電腦裡的浮點數同樣採用固定位數的表示法，像是 32 位元的單精度浮點數與 64 位元的雙精度浮點數，都是固定長度的，以下是 IEEE 754 標準所規定的浮點數的表示規格。

以下是 python 的浮點數規格範圍：

$ python 
>>> import sys
>>> sys.float_info
sys.float_info(max=1.7976931348623157e+308, max_exp=1024, max_10_exp=308, min=2.2250738585072014e-308, min_exp=-1021, min_10_exp=-307, dig=15, mant_dig=53, epsilon=2.220446049250313e-16, radix=2, rounds=1)

實數

電腦用浮點數來《近似的表達實數》，但還是會有些微小的誤差，雖然大部分情況下這些誤差不至於造成嚴重問題，但是在《回饋型系統》當中，就會產生像《蝴蝶效應》這種《差之毫釐、失之千里》的情況，所以要小心這種誤差的放大效應，特別是經過很多次放大之後的結果。

有理數

所謂的《有理數》 (rational number) 就是可以寫成 p/q 這樣分數的數值，也就是可以表達成 ratio 的 number 。(若採比較口語的譯法，應該是《比例數》)。

雖然浮點數已經可以表示很大範圍的整數，而且非常接近實數，但是浮點數會把 1/3 表示為 0.33333…. 這樣的數值。

>>> 1/3
0.3333333333333333

這種用浮點數代表有理數的方法，對人類而言有時不夠親切與精準，所以 python 用 Fraction 這個物件來表達有理數 (也就是分數)。

>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction('3/7')
Fraction(3, 7)
>>> a = Fraction('1/3')
>>> b = Fraction('2/6')
>>> a+b
Fraction(2, 3)
>>> a==b
True
>>> str(a+b)
'2/3'

複數

要用程式實現複數，也只需要用物件方式實作《加減乘除》等運算，就可以完成了，只是其中的《乘除法》算式比較複雜一點，特別是除法最複雜！

加法： $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

减法： $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

乘法： $(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

除法： $\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} =\frac{ac+bci-adi-bd i^2}{c^2 -(di)^2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i$

Python 已經內建了複數型態，以下是複數的基本操作：

>>> a = 1+2j
>>> b = 1-2j
>>> a+b
(2+0j)
>>> a-b
4j
>>> a*b
(5+0j)
>>> a/b
(-0.6+0.8j)
>>> a**2
(-3+4j)

尤拉公式是複數上一個很重要的公式，其中的虛數次方代表旋轉：

$e^{ix}=cos(x) + i sin(x) $

如果我們用半徑 r 乘上代表單位旋轉的 $e^{ix}=cos(x) + i sin(x) $ ，也就是採用下列表達式：

$r e^{ix}=r (cos(x) + i sin(x)) $

那麼就可以代表複平面上的任何一個點，其實這就是極座標形式的表示法。

如果我們把 r 寫成 $e^w$ ，那麼整個算式就可以被《指數化》了，形成下列的複指數形式：

$e^{w+ix}=e^w e^{ix}=r (cos(x) + i sin(x))=a+bi $

於是當我們對 $a+bi$ 取《自然對數》 ln 運算時，就會得到

$w+ix = \ln(a+bi)$

問題是，到底 w,x, 和 a,b 之間該如何轉換呢？

基本上 r 就是半徑，也就是 $r=\sqrt{a^2+b^2}=e^w$ ，所以 $w = ln(r)=ln(\sqrt{a^2+b^2})=\frac{1}{2} ln(a^2+b^2)$

而 x 的求法則可直接利用三角函數 $cos(x) = a/r$ 的關係式，得到：

$x=cos^{-1}(a/r)=cos^{-1}(a/\sqrt{a^2+b^2})$

於是我們可以得到 w, x 的轉換式如下：

$w={1 \over 2} \ln(a^2+b^2)$ $x=cos^{-1}(a/\sqrt{a^2+b^2})$

透過以上的數學， python 已經在 cmath 套件中實作了有關複數的函數，以下是這些函數的範例：

>>> a = 1+2j

>>> import cmath
>>> cmath.exp(a)
(-1.1312043837568135+2.4717266720048188j)
>>> cmath.log(cmath.exp(a)) 
(1+2j)
>>> cmath.sqrt(a)
(1.272019649514069+0.7861513777574233j)
>>> cmath.polar(a)
(2.23606797749979, 1.1071487177940904)
>>> cmath.phase(a)
1.1071487177940904
>>> cmath.sin(a)
(3.165778513216168+1.9596010414216056j)
>>> cmath.sinh(a)
(-0.4890562590412937+1.4031192506220405j)

小結

現在我們已經認識了 Python 中的《整數、實數、有理數、複數、浮點數》等數值類型的用法。

如果就這樣結束，未免太過可惜，因為這些《數量》所形成的《群體》，是讓我們進入《代數領域》的關鍵。

所以我們將在下一章，探討《代數》這個議題，這可是數學領域中非常重要的一個分支呢？

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